một bài tích phân đơn giản!

Tính nguyên hàm của hàm số sau:
f(x) = (x^2001) / (x^2 + 1)^1002
Bài toán tưởng chừng như ko có gì là khó khăn nhưng nếu không khéo léo trong cách đặt sẽ dẫn đến vô vàn khó khăn trong việc tìm lời giải:
Vấn đề là biến đổi hàm số f(x) về dạng: f(x) = k*(u^m)*u' với k,m = const.
Muốn vậy ta phải tách f(x) thành tích của hai hàm số [g(x)]^a  và h(x) sao cho g'(x) = n*h(x) với n = const 
Biến dổi như sau: f(x) = (x^2001) / (x^2 + 1)^1002
                                 = {[(x^2) / (x^2 + 1)]^1000}* [x / (x^2 + 1)^2]
Ta đặt u = (x^2) / (x^2 + 1) => du = [2x / (x^2 + 1)^2]dx
                                           <=> dx = du*[(x^2 + 1)^2] / 2x

=> f(x) = (u^1000) * du / 2
từ đó ta dễ dàng tính được họ nguyện hàm của f(x) là F(x) = (1/2 * u^1001) / 1001
Thay u = (x^2) / (x^2 + 1) vào ta tính được họ nguyên hàm theo biến x!
Kết luận: vấn đề là phải biết chọn hàm u(x) sao cho khi tách hàm f(x) ta sẽ được kết quả là một hàm số nhân với đạo hàm của hàm số đó, đó là một nghệ thuật!